前些天讀了一本《選舉的困境》，其中有一章，從美國的選舉制度說起，介紹美國選舉制度的不足，然後針對其不足，提出種種改善，然而每種改善都有其各自的問題，其中的變化很有趣。
先說美國選舉制度，美國的總統選舉是一種“贏者通吃”的方式，每個州根據其人口多少，有幾十或幾百的“州票”，州裡的人對總統候選人進行選舉，在某個州獲得票最多的那個候選人，獲得這個州所有的“州票”，然後統計所有候選人的“州票”多少，獲得最多“州票”的候選人獲勝。
這樣制度的問題是顯然的，比如如果只有兩個州，A州5個人，而B州4個人，州票也分別是5和4，如果某候選人X在A州以3:2獲勝，另一個候選人Y在B州以4:0獲勝，這樣顯然候選人Y在全國范圍內獲得了6張票，而候選人X只有在A州的3張票，但是由於“贏者通吃”，X獲得了A周的全部5張“州票”，Y只獲得了B周的4張“州票”，在全國只有1/3民眾支持的X居然獲得了選舉的勝利。
這樣的情況在2000年美國總統選舉中就出現過，小布什的州票領先於戈爾，然而在全國民眾中統計支持戈爾的人數卻是大於小布什的，當然戈爾輸給小布什還有另一個原因，這裡按下不表。
如果放在算法領域，可以看出這裡的問題在於，為了統計結果R（最適合的總統人選），找到了一個特征A（每個民眾的投票），而決定結果R的，卻不是特征A，而是由特征A推導出來的特征B（州票），在特征A向特征B的推導過程中，信息丟失了（每個洲的支持百分比不一樣）。
“贏者通吃”這種制度的具體歷史原因先不說，有興趣的朋友可以去看原著。解決這種問題的最直接方案就是從“贏者通吃”變成直選，也就是一人一票，直接統計票數，然而這樣也會遇到一系列問題。
在談那一系列問題之前，先把要解決的問題抽象一下：
有n個候選人，每個選民對這n個候選人投票，最終在n個候選人中選出最合適、最符合民意、也符合邏輯的那個人。
方案1：一票制，每人一票，選出自己最喜歡的候選人，對結果進行統計，得票最多的那個人當選。
這樣做的問題是會導致作者定義的一種“鹬蚌困局”，舉例說，如果有ABC三個候選人，其中BC政見比較類似，支持B的人也比較支持C，反之亦然，在全民中，喜歡BC的人占多數，A的政見和BC相反，支持A的人在全民中占少數。這樣導致的後果就是，BC獲得的票會比較分散，而A獲得的票比較集中從而獲得勝利，如果BC中有1人不參加選舉，票就會集中到B或者C一個人的手中，從而使多數選民的支持者當選。前面按下不表的戈爾失敗的另一個原因，就是有人認為有跟戈爾政見類似的耐德的參與，他分散了部分戈爾的選票。
可以對此問題有所改善的方案叫做“二選制”。
方案2：二選制，每人一票，如果無人獲得大於50%的支持，則將得票最高的兩個候選人拿出來，再進行一輪選舉，得票多的人獲勝。
法國總統選舉就是這樣的二選制，但是這樣的方法只能改善“鹬蚌困局”，而不能徹底解決，2002年的法國總統大選就出現了類似的情況，當時支持左派政見的民眾較多，然而在二選制下，最終的前兩名卻是一個右派和一個極右派。出現這種情況的原因是當年有16個總統候選人，且多數是持左派政見者，這樣就導致左派的票極端分散。
方案3：n選制，每人一票，如果無人獲得大於50%的支持，則去掉支持最少的候選人，再進行一輪投票，若依舊無人獲得大於50%的支持，再去掉得票最少的候選人，直到有人大於50%支持為止。
2001年奧委會決定北京為2008年奧運會主辦城市的時候，就是用的這樣的制度，在第一輪投票裡大阪被淘汰，北京在第二輪就獲得了半數以上的支持，從而當選。
n選制的問題在於不實用，如果是奧委會這種只有幾百個人投票的情況還可以使用，如果類似前面法國總統選舉，有16個候選人，舉國上下最多可能進行15次投票，成本太高。
方案4：即刻復選制，每個民眾對候選人進行排序，如果某個候選人獲得了50%以上的首選，則直接獲得勝利，否則淘汰票數最低的候選人，並且把票數最低候選人的得票中的第二候選人拿出來，分給對應的候選人，如果有人獲得50%以上，則當選，否則再淘汰一位最低的，並且把他票分給裡面排序最高的且未被淘汰的候選人，如此往復。
愛爾蘭總統選舉和倫敦市長選舉采用的是類似的方案，此方案也有問題，試想如此場景：選民共10人，中間派候選人是3人的首選，左派和右派的候選人分別是4人的首選，當然左派選民最討厭右派候選人，而右派選民也最討厭左派候選人，而左派右派的民眾對中間派候選人倒是都可以接受，不管是即可復選制還是n選制，中間派候選人都會在第一輪被淘汰。而中間派候選人則是全體民眾都可以接受的人，也最能調和各派之間矛盾，最和諧。
這個方案的本質問題是，雖然每個選民可以對候選人排序，但是在第一輪的時候卻只考慮了第一選，沒有考慮選民的二、三選。
方案5：上行復選制，跟方案4類似，只不過第一輪淘汰的不是支持最少，而是反對最多的候選人（獲得最多末選票的候選人）
再看上面提到的情況，中間派候選人由於不是任何人的末選，所以第一輪淘汰的是左派或者右派，再第二輪選舉中，中間派的候選人就可以獲勝了。
方案5也有方案5的問題，考慮這樣一種情況，只有兩個候選人AB參選，選民9人，其中6人喜歡A而討厭B，3人喜歡B而討厭A，無論按照之前的哪種方式，都會是A獲勝。但是現在又多了兩個候選人C和D，喜歡B的3人中，都是把A列在最後一個候選的，而喜歡A的6人的末選，卻是BCD各2票，這樣，在第一輪選舉中，A就由於獲得了最多的末選票被淘汰了，而通過精心的構造例子，完全可以使B最終當選。僅僅由於CD參選或者不參選，A和B之間的勝負關系就發生了大逆轉。
實際使用此方案的例子不多，只有在公元前507年的雅典有類似的方案，不是讓民眾投支持票，而是投反對票，把反對最多的人投出局。
方案6：多賽制，民眾對候選人排序，然後候選人之間兩兩pk，統計每一張選票上看候選人A在候選人B前面還是B在A前面，如此找到獲勝場次最多的候選人來贏得選舉。
這樣的問題是可能導致循環勝負，如ABC三個候選人，有3個民眾，投票分別是ABC，BCA，CAB，可以看出AB之間A獲勝兩次，A>B；BC之間B獲勝兩次，B>C，AC之間C獲勝兩次，C&